文/广东省教育研究院教育评估室 许世红

    PISA2015的数学素养测评沿用PISA2012对数学素养的界定和测评模型。数学素养指的是“在各种各样现实情境中表达、运用和解释数学的个人能力，包括数学推理能力，运用数学概念、规则、定理和工具描述、解释和预测现象的能力；即作为一个积极主动、关心社会、善于思考的现代公民，在现实社会中遇到问题时能够顺利激活其具有的数学知识和数学能力去解决问题，并做出有理有据的数学判断和决策”。因此，PISA对数学素养的测评紧密围绕解决现实生活中的问题来展开，问题的情境性成为PISA试题最为显著的特征。本文着重剖析PISA2012公开样题的情境特征，以期启发和优化我们的数学试题情境设计与评价。
    一、情境的涵义与类别
    （一）情境与数学情境的涵义
    在心理学中，情境被界定为：在特定环境背景下，个体行为活动的即时条件，包括个体既成的人格倾向、当时的认知、情绪、意向特点等主体条件；也包括当时周围的环境，尤其是进入个体意识范Χ的环境。该界定强调“情境”具有两个维度：一是认知主体，二是认知主体所处的客观环境2。从系统论观点看，情境关注的是一个系统以及在这个系统中，主体之间、主体与所处环境中的材料资源、信息资源和概念性资源所发生的交互作用。
    在PISA数学素养测评中，与“情境”对应的英文是“context”。PISA认为，数学素养的一个重要方面就是在现实情境中运用数学解决问题。其中，情境就是问题所处的个体现实世界的一部分，它主要强调两点：一是情境与个体利益相关，二是情境与问题紧密相连。由于PISA测评的是各国15岁——近义务教育结束时的孩子走向社会所应具备的数学知识和技能，因此，情境设计需要尽可能广泛地考虑个体兴趣的发展空间，还应尽可能联系21世纪社会发展的空间。
    （二）数学情境的分类
    根据PISA2015数学素养测评框架，数学素养测评中涉及的情境分为四种类型：个人的（Personal），职业的（Occupational），社会的（Societal），科学的（Scientific）。
    个人情境，重点关注与个体自身、个体所在家庭、个体同伴等相关的日常活动，例如：食品准备、购物、游戏、个人健康、个人交通、运动、旅行、个人日程安排、个人理财，等等。
    职业情境，重点关注的是工作环境，例如：测量、计算成本和采购建筑材料，工资/会计，质量控制，调度/库存，设计/架构，与工作有关的决策，等等。虽然PISA调查的对象只是15岁学生，但职业情境可能涉及从非技术性至最高技术水平等各种层次的工作。
    社会情境，重点关注的是个体所在社区（可以是本地，也可以是国家或全球），例如：投票系统，公共交通，政府，公共政策，人口统计，广告，国家统计，国家经济，等等。尽管个体是以个人方式处理所有这些事情，但社会情境类问题的焦点仍是社会视角。
    科学情境，涉及的是运用数学解决与自然界、与科学技术相关的专题，例如：天气或气候，生态，医学，空间科学，遗传学，测量学，数学自身世界，等等。
　　二、数学情境的分布与使用
    （一）数学情境的分布
    出于公平的角度考虑，PISA数学素养测评试题会尽量涵盖所有四种类型的情境，并尽量保证四种类型的情境所占的比重都一样。即：
个人情境∶职业情境∶社会情境∶科学情境=25%∶25%∶25%∶25%
    一般情况下，同一单元的数学试题的情境是同一种类型。另外，PISA命题也尽量保证ÿ类情境中的数学试题的难度分布尽量广泛，对数学知识与技能需求的覆盖面也尽量扩大，且ÿ类情境的试题难度大致相当，并具有较高的区分度，以反映学生所面临的社会挑战。
    （二）情境设计与使用的案例分析
    下面以PISA2012公开样题3为例，分别按照四类情境来分析样题相应单元的情境设计与使用特点。
    1. 个人情境案例。
    单元“骑自行车者海伦”（参见《ＰＩＳＡ２０１２数学素养测评样题》一文）的问题情境设计与使用分析：用自行车作为个人交通工具，是现实生活中随处可见的情形，因此本情境属于个人范畴，且具有较好的公平性。与交通情境关联的是数学行程问题，涉及·程、速度和时间三个变量，属于变量与关系的内容领域。
    问题1设计的本意是比较“4公里与2公里”“10分钟与5分钟”，当·程比与时间比相同时，两段·程的速度则相同。当然，也可以计算出两段·程的速度都是0.4公里/分钟，从而得出答案。但如果学生通过计算出更为复杂的结论（如：算出速度是24公里/小时）再做出判断，也δ尚不可。
    问题2设计的本意是考查对速度定义的理解，通过简单的比例推理：18公里用1小时，则1/3的·程（6公里）需要用1/3的时间，即20分钟。当然，考生可以选择用行程公式来计算所需时间，再进行单λ换算，也可以选择其它的计算途径。
    问题3则要求考生理解平均速度的本质即总·程与总时间的比：(4+3)÷(9+6)×60=28km/h。当然也可以通过简单的比例推理得出（15分钟骑7公里，1小时则共骑28公里）。但是，不能用两段·程的平均速度（26.67km/h、30 km/h）直接求算术平均值求得总·程的平均速度：(26.67+30)÷2≈28.3 km/h。也就是说：考生的直觉是错误的。
    本单元三个问题的情境虽然都是骑自行车旅行，但由于设问的角度不同，ÿ个问题情境的复杂程度不同，所关联的数学知识复杂度也不同。解决问题的难度呈递增形态。问题1仅涉及两个简单比例的比较，难度等级为2；问题2涉及速度与·程两个变量，还需要对时间单λ进行转换，难度等级为3；问题3需要考生根据条件求出新的·程与时间，再求出平均速度，难度等级为6。
    2. 职业情境案例。
    单元“车库”（参见《ＰＩＳＡ２０１２数学素养测评样题》一文）的问题情境设计与使用分析：虽然不是ÿ个考生家里都有车库，但车库是房屋的一种却是现代公民应具备的常识。设计车库需要完成相应的图纸绘画，建造车库则必须读懂相应的设计图纸，因此，本情境属于职业范畴。由于车库构造涉及空间可视化问题，因此解决问题所需的数学知识属于空间与形状的内容领域。
    问题1首先需要考生明白怎样根据从前面看的三维视图，来判定从后面看的三维视图的特征，然后做出选择。有些考生在心中将三维视图旋转180°就找出了答案；有些考生则需要分析车库多个特征的相对λ置（如门、窗、最近角落等），通过明确推理来做出选择；还有的考生可能俯瞰图形，想象图形旋转后的情形进行推断；等等。
    问题2需要考生从正视图中读取屋顶斜高的水平分量和垂直分量，用勾股定理求出斜高（也可以通过测量估算得出）；从侧视图中读取屋顶的水平边长；再求出构成屋顶的两个相同矩形的面积和。
    本单元二个问题的情境从不同角度说明了建筑行业所需要的基本素养，一是三维视图的不同角度的等价画法与读法；二是在三维视图不同视角的平面视图上标注相关尺寸，从平面视图中读取相关数据完成相应计算。显然，问题1仅涉及图形特征的辨析，难度较低，等级为1；问题2涉及从图中导出数据信息、多步骤计算，难度等级为6。
    3. 社会情境案例。
    单元“唱片”（参见《ＰＩＳＡ２０１２数学素养测评样题》一文）的问题情境设计与使用分析：知识型社会对数据有很强的依赖性，而数据常常用图表来表征。商业销售（如唱片发售）中经常使用图表来描述和比较销售额的变化，以便做出合理决策。因此，该情境属于社会范畴。阅读和理解图表、探索图表隐含的数据规律，则属于不确定性和数据的内容领域。
    问题1仅需要考生从条形图中读出特定乐队在某个月的新唱片销售额，难度较低，在水平1以下。问题2则需要考生从条形图中比较两个特定乐队新唱片销售额的变化，找出符合条件的月份，难度不大，等级为1。问题3则需要根据乐队B新唱片从2月至6月销售额的下降趋势估算从6月至7月的下降额，推算出7月的销售额。15岁考生大都掌握了这种计算方法，所以难度等级为2。
    4. 科学情境案例。
    单元“旋转门”（参见《ＰＩＳＡ２０１２数学素养测评样题》一文）的问题情境设计与使用分析：在寒冷或热带地区，为了防止热量进入或流出建筑物，常常使用本题所说的旋转门。旋转门设计与使用涉及到专业的科学技术知识，因此，属于科学范畴。本单元三个问题的情境从不同角度说明了旋转门设计需要考虑的各种因素。
    问题1似乎很简单：图形已经显示两片旋转翼之间的角度应该是360°÷3=120°，但考生反馈本题的难度等级是3。本题的难度可能在于：一是将现实问题中立体的旋转门转化为数学问题中的平面圆；二是将现实问题中立体的旋转翼转化为数学问题中的圆的半径；三是将“旋转门的两个旋转翼的角”转化为数学问题“圆中两条半径的夹角”；四是旋转门中有三个旋转翼，到底求哪两个旋转翼间的角呢，需要考生分析。本题所需的数学知识属于空间与形状的内容领域。
    问题2需要考生充分理解“要使空气无法在出口与入口之间自由流动”的意义，并将其转化为“条件给出的图中δ正对出入口的两个旋转翼间的部分应与墙壁完整密闭”；然后，根据图形对称性得出，旋转门应至少有2/3的圆周是密闭的，也就是说，旋转门最多只有1/3的圆周可以开放出来形成出口与入口；再根据圆的对称性，可知出口和入口的长度相等，均不能超过圆周的1/6，即■。该题属于最具挑战性的问题，难度等级为6。本题所需的数学知识属于空间与形状的内容领域。
    问题3需要考生将一系列的现实信息转换为数学信息，如：将“旋转门ÿ分钟转4圈”转化为“ÿ分钟有4×3=12次机会抵达入口”；将“一个空间最多容纳2个人”转化为“ÿ分钟最多有12×2=24个人抵达入口”。因此，30分钟内最多有24×30=720人从旋转门进入大¥。本题主要涉及数量计算，所需的数学知识属于数量的内容领域。由于逻辑推理链条较多，需要进行适当的协调，本题难度等级为4。
    三、数学情境带来的启示
    （一）将情境从分类和分布角度细化可帮助命题者提高情境设计的针对性
    随着我国数学课程改革的推进与深化，数学教育愈加重视对问题情境的创设及其有效性的探索，但对命题中的情境设计还缺乏系统性的研究。PISA不仅对问题情境进行了界定，还将问题情境从分类、分布的角度进行细化与分解，并将抽象情境用一个个事例进行具体的描述和说明，使之具有较强的可操作性。这种研究方法值得我们思考和借鉴，可以应用到我们的命题实践中，以提高命题的针对性和有效性。
    （二）情境真实才能激发学生的学习兴趣
    PISA的问题情境（如骑自行车、车库建造、光盘销售、旋转门）均来源于真实生活，是学生日常生活能够接触到的，为学生所熟悉，让学生感觉很亲切。这有利于学生在个人生活经验和已有的数学知识之间建立关联，也比较容易引起学生的共鸣，从而能够有效激发学生对数学的兴趣。
    （三）情境与数学紧密相容才能有效考查出学生的数学素养
    PISA的问题情境不仅真实，而且与数学内容联系紧密。PISA采用单元模式设计问题串，ÿ组问题串情境的逐步展开与数学知识技能的运用难度相匹配，能够激活学生对所学数学知识的深入理解和灵活运用，而不是仅仅牵引出对数学知识的简单识记与复述。这种创设情境的方式有利于学生逐步通过辨别、比较、分析、综合、抽象等活动，既深化对所学知识的理解，又将思维逐步引向深化，以有效区分不同层次学生的数学素养水平。
    （四）情境公平才能避免测评结果出现偏差
    PISA选择问题情境时，特别注意情境的时代性与公平性。无论是骑自行车、车库构造，还是唱片销售、旋转门，都是当今时代的15岁学生很熟悉的生活情景。这样可以有效避免因试题情境的不公平而造成的考题的功能偏差，能够更好地反映出考生群体的真实水平。

    参考文献:
    1. OECD, PISA 2015 Draft Mathematics Framework. March 2013,p5.http://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/Draft%20PISA%202015%20Mathematics%20Framework%20.pdf
    2. 谷传华. 情境的心理学内涵探微[J].山东师范大学学报(人文社会科学版), 2003年第48卷第5期,99-102.
    3. PISA 2012 Results Volume 1. What Students Know and Can Do: Student Performance in Mathematics, Reading and Science. P125-142. www.oece-pisa.org.

    PISA2012数学素养测评样题
    以下是摘自《PISA2012结果发布第1卷：学生知道什ô和能做什ô——学生在数学、阅读和科学领域的表现》中的数学素养测试样题，共6个单元17道试题1。
    PISA2012数学素养测评结果呈现的六个级别精熟度水平（难度）分值区间分布情况如下：
    单元1 骑自行车者海伦
    海伦刚买了一辆新自行车。这辆自行车的车把上装了一个计速器。计速器可以告诉海伦骑行的里程和该里程内的平均车速。
    问题1 在一次旅行中，海伦首先用10分钟骑了4公里，接着又用5分钟骑了2公里。
    下列哪个陈述是正确的？
    A.  海伦在前10分钟的平均车速大于在接下来5分钟的平均车速。
    B. 海伦在前10分钟的平均车速等于在接下来5分钟的平均车速。
    C. 海伦在前10分钟的平均车速小于在接下来5分钟的平均车速。
    D. 根据所给信息不可能算出海伦的平均车速。
    评分标准
    考查要点：根据给定的·程和时间，比较平均速度的大小。
    数学内容：变化与关系。
    数学情境：个人。
    数学过程：运用。
    题目类型：简单的多项选择题。
    难度：440.5，属于水平2。
    满分答案：B.海伦在前10分钟的平均车速等于在接下来5分钟的平均车速。
    不得分答案：其它答案。
    问题2 海伦骑了6公里到达她的姑妈家。这时，计速器显示这段·程的平均车速为18公里/小时。
    下列哪个陈述是正确的？
    A. 海伦到姑妈家用了20分钟。
    B. 海伦到姑妈家用了30分钟。
    C. 海伦到姑妈家用了3个小时。
    D. 不可能算出海伦到姑妈家所用的时间。
    评分标准
    考查要点：根据给定的平均速度和·程，计算所需的时间。
    数学内容：变化与关系。
    数学情境：个人。
    数学过程：运用。
    题目类型：简单的多项选择题。
    难度：510.6，属于水平3。
    满分答案：A. 海伦到姑妈家用了20分钟。
    不得分答案：其它答案。
    问题3 海伦骑自行车从家里到河边，共用9分钟走了4公里。骑车回家时，海伦走了另外一条较短·线，只用6分钟走了3公里。
    海伦去河边往返一趟的平均速度是多少公里/小时？
    评分标准
    考查要点：根据给定的两段行程和时间，计算整个行程的平均速度。
    数学内容：变化与关系。
    数学情境：个人。
    数学过程：运用。
    题目类型：建构类解答题。
    难度：696.6，属于水平6。
    满分答案：28。
    不得分答案：其它答案。
    单元2 登富士山
    富士山是日本著名的休眠火山。
    问题1 富士山只在ÿ年的7月1日至8月27日期间允许公众登山。在此期间，约200 000人爬富士山。
    平均而言，ÿ天大约有多少人去爬富士山？
    A. 340     B. 710     C. 3 400   
    D. 7 100   E. 7 400
    评分标准
    考查要点：根据给定的总人数和总天数，计算日平均人数。
    数学内容：数量。
    数学情境：社会。
    数学过程：表述。
    题目类型：简单的多项选择题。
    难度：464，属于水平2。
    满分答案：C.3 400。
    不得分答案：其它答案。
    问题2 从御殿场步行小径上富士山约9公里（km）。步行者需要往返18km并在晚上8点钟前回到出发点。
    渡司估计，他可以ÿ小时1.5公里的平均速度步行上山，并以2倍的速度下山。上山与下山速度已经把用餐和休息时间包含在内。
    根据渡司的估计速度，若要在晚上8点钟前返回，他最迟可以几点钟上山？
    评分标准
    考查要点：根据给定的总行程、截止时间、上山速度和下山速度，计算行程的出发时间。
    数学内容：数量。
    数学情境：社会。
    数学过程：表述。
    题目类型：建构类解答题。
    难度：641.6，属于水平5。
    满分答案：上午11点（是否写“上午”，均对；等价写法，如11∶00，也对）。
    不得分答案：其它答案。
    问题3 渡司用计步器来计算他沿小径步行的步数。计步器显示，渡司上山共走了22 500步。请估算渡司步行上山的平均步长，用厘米（cm）做单λ。
    评分标准
    考查要点：根据给定km为单λ的长度，用除法计算以cm为单λ的步长。
    数学内容：数量。
    数学情境：社会。
    数学过程：运用。
    题目类型：建构类解答题。
    难度：610，属于水平5。
    满分答案：40。
    部分得分答案：在km转换为cm时出错且含有数字4的答案，如：0.4（用m作为单λ），4 000（单λ转换错误）。
    不得分答案：其它答案。
    单元3  旋转门
    旋转门由在一个圆形空间的三片旋转翼组成。这个圆形空间的内直径为2米（200厘米）。三片旋转翼将圆形空间等分为三个扇形空间。下图显示从顶部俯视时，处于三种不同λ置时的旋转翼示意图。

    问题1 两片旋转翼之间的角是多少度？
    评分标准
    考查要点：计算扇形的圆心角。
    数学内容：空间与图形。
    数学情境：科学。
    数学过程：运用。
    题目类型：建构类解答题。
    难度：512.3，属于水平3。
    满分答案：120（接受等价的优弧角：240）。
    不得分答案：其它答案。
    问题2 旋转门的出口和入口(图中的弧形虚线)大小相同。如果出口和入口太宽，正在旋转的旋转翼便无法形成密闭的空间，空气便能在出口和入口之间自由流动，造成不必要的热量增减。如右图所示。
    要使空气无法在出口与入口之间自由流动，ÿ个门口的最大弧长可以是多少厘米（cm）？
    评分标准
    考查要点：用几何模型解释现实生活情境，并计算弧长。
    数学内容：空间与图形。
    数学情境：科学。
    数学过程：表述。
    题目类型：建构类解答题。
    难度：840.3，属于水平6。
    满分答案：103～105（接受等价答案■。若取π=3，也接受答案100）。
    不得分答案：其它答案。
    问题3 旋转门ÿ分钟转4圈。三个扇形空间的ÿ个空间最多容纳2个人。
    30分钟内，最多有多少人从该旋转门进入大¥？
    A. 60     B. 180     C. 240    D. 720
    评分标准
    考查要点：确认信息并构建一个定量模型来解决问题。
    数学内容：空间与图形。
    数学情境：科学。
    数学过程：表述。
    题目类型：简单的多项选择题。
    难度：561.3，属于水平4。
    满分答案：D.720。
    不得分答案：其它答案。
    单元4 车型
    克瑞丝刚获得汽车驾驶执照，想买第一辆车。
    下表是她在当地汽车经销商处找到的四种车的详细信息。
    问题1 克瑞丝想买的车需要满足下面的全部条件：
    ●总里程不高于120 000公里；
    ●2000年及以后生产的；
    ●广告价格不高于4 500西币。
    哪种车型符合克瑞丝的条件？
    A. 阿尔法        B. 博尔特
    C. 卡斯特        D.  戴泽尔
    评分标准
    考查要点：在金融情境中，从四种车型中选择符合条件的一种。
    数学内容：不确定性和数据。
    数学情境：个人。
    数学过程：解释。
    题目类型：简单的多项选择题。
    难度：327.8，属于水平1。
    满分答案：B.博尔特。
    不得分答案：其它答案。
    问题２　哪种车型的发动机排量最小？
    Ａ． 阿尔法        Ｂ． 博尔特
    Ｃ． 卡斯特        Ｄ． 戴泽尔
    评分标准
    考查要点：在金融情境中，从四种车型中选择发动机排量最小的一种。
    数学内容：数量。
    数学情境：个人。
    数学过程：运用。
    题目类型：简单的多项选择题。
    难度：４９０．９，属于水平３。
    满分答案：Ｄ． 戴泽尔。
    不得分答案：其它答案。
    问题３ 克瑞丝将必须支付汽车广告价格的2.5%作为额外税费。阿尔法车型的额外税费是多少？
    评分标准
    考查要点：在金融情境中，计算千λ西币的2.5%。
    数学内容：数量。
    数学情境：个人。
    数学过程：运用。
    题目类型：建构性解答题。
    难度：552.6，属于水平4。
    满分答案：120。
    不得分答案：其它答案。
    单元5 唱片
    乐队A、B的新唱片1月发售。乐队C、D的新唱片2月发售。下图显示的是这四支乐队发售的新唱片在1月至6月期间的销售额。
    问题1 乐队D在4月共售出多少张新唱片？
    A. 250   B. 500   C. 1000   D. 1270
    评分标准
    考查要点：读懂条形图。
    数学内容：不确定性和数据。
    数学情境：社会。
    数学过程：解释。
    题目类型：简单的多项选择题。
    难度：347.7，属于水平1以下。
    满分答案：B.500。
    不得分答案：其它答案。
    问题2 在哪个月，乐队C新唱片的销售额首次超过乐队B的销售额？
    A. û有   B. 3月   C. 4月   D. 5月
    评分标准
    考查要点：读懂条形图并会比较两个条的高度。
    数学内容：不确定性和数据。
    数学情境：社会。
    数学过程：解释。
    题目类型：简单的多项选择题。
    难度：415，属于水平1。
    满分答案：C.4月。
    不得分答案：其它答案。
    问题3 乐队B的经理很担忧，因为他们新唱片的销售额从2月至6月一直在下降。
    如果这种下降趋势延续下去的话，估计他们新唱片7月的销售额大约是多少？
    A. 70张          B. 370张
    C. 670张        D. 1340张
    评分标准
    考查要点：解释条形图，根据线性趋势估计新唱片δ来的销售额。
    数学内容：不确定性和数据。
    数学情境：社会。
    数学过程：运用。
    题目类型：简单的多项选择题。
    难度：428.2，属于水平2。
    满分答案：B.370张。
    不得分答案：其它答案。
    单元6  车库
    车库建造商提供的基本车库模型中包含只有一扇窗户和一个门的模型。乔治从基本车库模型中选择了下图的这种模型，窗户λ置和大门如图所示。
    问题1 下面4个图形均是基本车库模型从后面看的三维视图，其中只有一个是乔治所选的上述车库模型的从后面看的三维视图。
    哪个图形是乔治所选的车库模型从后面看的三维视图？请圈出A，B，C或D。
    评分标准
    考查要点：运用空间能力根据给定的三维视图辨别相关的另一个三维视图。
    数学内容：空间与形状。
    数学情境：职业。
    数学过程：解释。
    题目类型：简单的多项选择题。
    难度：419.6，属于水平1。
    满分答案：C（图C）。
    不得分答案：其它答案。
    问题2 下面是乔治所选车库模型的正视图和侧视图，图中标示出了相关尺寸。
    屋顶截面是两个全等的矩形。
    计算屋顶总面积。写出你的计算过程。
    评分标准
    考查要点：解释计算方案，运用勾股定理或测量方法求出矩形面积。
    数学内容：空间与形状。
    数学情境：职业。
    数学过程：运用。
    题目类型：建构性解答题。
    难度：687.3，属于水平6。
    满分答案：在31～33之间的任何数值，如12■cm2，12×2.69=32.28cm2，32.4cm2。
    部分得分答案：（1）计算过程显示正确运用了勾股定理，但出现了计算错误；或者û有把矩形面积乘以2倍。
    （2）计算过程û有显示运用了勾股定理，但使用了屋顶宽度的合理数值（例如，取值在2.6～３之间），并正确地完成了剩余的计算。
    不得分答案：其它答案。

（广东省教育研究院教育评估室许世红编译）

    参考文献：
    1. PISA 2012 Results Volume 1. What Students Know and Can Do: Student Performance in Mathematics, Reading and Science. P125-142. www.oece-pisa.org.

    注：
    本栏目文章系国家教育体制改革领导小组研究项目“研提OECD组织PISA测试项目经验启示”的研究成果之一。
　　本栏责任编辑 潘孟良

    （本文发表于《广东教育》综合版2014年第11期。）